الجديد

ورقة عمل لعدم المساواة Chebyshev ل

ورقة عمل لعدم المساواة Chebyshev ل

يقول عدم المساواة في Chebyshev 1 على الأقل /ك2 البيانات من عينة يجب أن تقع داخل ك الانحرافات القياسية من الوسط ، أينك هو أي رقم حقيقي إيجابي أكبر من واحد. هذا يعني أننا لسنا بحاجة لمعرفة شكل توزيع بياناتنا. مع الانحراف المعياري والمعياري فقط ، يمكننا تحديد مقدار البيانات لعدد معين من الانحرافات المعيارية عن الوسط.

فيما يلي بعض المشكلات التي يجب ممارستها عند استخدام عدم المساواة.

مثال 1

فئة من طلاب الصف الثاني يبلغ متوسط ​​ارتفاعها خمسة أقدام مع انحراف معياري قدره بوصة واحدة. على الأقل ما يجب أن تكون النسبة المئوية للفصل الدراسي بين 4'10 و 5'2؟

حل

تقع الارتفاعات التي يتم تقديمها في النطاق أعلاه ضمن انحرافين معياريين عن متوسط ​​ارتفاع خمسة أقدام. عدم المساواة في Chebyshev يقول أن ما لا يقل عن 1-22 = 3/4 = 75٪ من الفصل في نطاق الارتفاع المحدد.

مثال رقم 2

تم العثور على أجهزة الكمبيوتر من شركة معينة في المتوسط ​​لمدة ثلاث سنوات دون أي خلل في الأجهزة ، مع انحراف معياري لمدة شهرين. على الأقل ما في المئة من أجهزة الكمبيوتر الماضي ما بين 31 شهرا و 41 شهرا؟

حل

متوسط ​​عمر ثلاث سنوات يتوافق مع 36 شهرا. أوقات 31 شهرًا إلى 41 شهرًا كل 5/2 = 2.5 الانحرافات المعيارية عن الوسط. من عدم المساواة في Chebyshev ، على الأقل 1 - 1 / (2.5) 62 = 84 ٪ من أجهزة الكمبيوتر تستمر من 31 شهرا إلى 41 شهرا.

مثال رقم 3

تعيش البكتيريا في ثقافة ما لمدة متوسطها ثلاث ساعات مع انحراف معياري قدره 10 دقائق. على الأقل ما هو جزء البكتيريا التي تعيش ما بين ساعتين وأربع ساعات؟

حل

كل ساعتين وأربع ساعات تبعد كل ساعة عن الوسط. ساعة واحدة يتوافق مع ستة الانحرافات القياسية. لذلك على الأقل 1 - 1/62 = 35/36 = 97 ٪ من البكتيريا تعيش ما بين ساعتين وأربع ساعات.

مثال رقم 4

ما هو أقل عدد من الانحرافات المعيارية عن المتوسط ​​الذي يجب أن نذهب إليه إذا أردنا التأكد من أن لدينا على الأقل 50٪ من بيانات التوزيع؟

حل

هنا نستخدم عدم المساواة Chebyshev والعمل إلى الوراء. نريد 50 ٪ = 0.50 = 1/2 = 1 - 1 /ك2. الهدف هو استخدام الجبر لحلها ك.

نحن نرى أن 1/2 = 1 /ك2. تعبر مضاعفة وانظر 2 =ك2. نأخذ الجذر التربيعي لكلا الجانبين ، ومنذ ذلك الحين ك هو عدد من الانحرافات المعيارية ، ونحن نتجاهل الحل السلبي للمعادلة. وهذا يبين أن ك يساوي الجذر التربيعي لاثنين. لذا فإن 50٪ على الأقل من البيانات تقع ضمن 1.4 انحراف معياري تقريبًا عن الوسط.

مثال رقم 5

يستغرق مسار الحافلات رقم 25 متوسط ​​الوقت 50 دقيقة مع الانحراف المعياري لمدة دقيقتين. ينص الملصق الترويجي لنظام الحافلات هذا على أن "95٪ من مسار الحافلة رقم 25 يستمر من ____ إلى _____ دقيقة". ما هي الأرقام التي سوف تملأها الفراغات؟

حل

يشبه هذا السؤال السؤال الأخير الذي نحتاج إلى حل له كعدد الانحرافات المعيارية عن المتوسط. ابدأ بتحديد 95٪ = 0.95 = 1 - 1 /ك2. هذا يدل على أن 1 - 0.95 = 1 /ك2. تبسيط لرؤية ذلك 1 / 0.05 = 20 = ك2. وبالتالي ك = 4.47.

الآن التعبير عن هذا في الشروط المذكورة أعلاه. ما لا يقل عن 95 ٪ من جميع ركوب الخيل 4.47 الانحرافات القياسية من الوقت المتوسط ​​من 50 دقيقة. اضرب 4.47 بواسطة الانحراف المعياري 2 لينتهي بتسع دقائق. لذلك 95 ٪ من الوقت ، يأخذ مسار الحافلة رقم 25 بين 41 و 59 دقيقة.